Descripción del movimiento.
Cinemática en una dimensión
El movimiento de los objetos (pelotas de béisbol, automóviles, corredores, e incluso el Sol y la Luna) es una parte evidente de la vida cotidiana. No fue sino hasta los siglos XVI y XVII que se estableció nuestra comprensión moderna del movimiento. Muchas personas contribuyeron con ese entendimiento, particularmente Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727).
El estudio del movimiento de los objetos, así como de los conceptos relacionados de fuerza y energía, forman el campo de la mecánica. La mecánica a la vez suele dividirse en dos partes: cinemática, que es la descripción de cómo se mueven los objetos; y dinámica, que trata con el concepto de fuerza y las causas del movimiento de los objetos. Este capítulo y el siguiente tratan la cinemática.
Comenzaremos estudiando los objetos que se mueven sin girar. Tal movimiento se llama movimiento traslacional. En el presente capítulo el enfoque estará en la descripción de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta, es decir, un movimiento traslacional unidimensional. En capítulos siguientes estudiaremos cómo describir el movimiento traslacional en dos (o tres) dimensiones a lo largo de trayectorias que no son rectas.
A menudo usaremos el concepto, o modelo, de partícula idealizada, que se considera como un punto matemático sin extensión espacial (sin tamaño). Una partícula puede tener sólo movimiento traslacional. El modelo de partícula es útil en muchas situaciones reales, donde nos interesa sólo un movimiento traslacional y no es importante el tamaño del objeto. Por ejemplo, para muchos fines, podríamos considerar una bola de billar, o incluso una nave espacial que viaja hacia la Luna, como una partícula.
Marcos de referencia y desplazamiento
Toda medición de posición, distancia o rapidez debe realizarse con respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, suponga que mientras usted viaja en un tren a 80 km/h, ve a una persona que camina por el pasillo hacia el frente del tren con rapidez, digamos, de 5 km/h, que es la rapidez de la persona con respecto al tren como marco de referencia. Sin embargo, con respecto al suelo, esa persona se mueve con una rapidez de 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h. Siempre es importante especificar el marco de referencia al indicar una rapidez. En la vida diaria, por lo general al hablar de una rapidez implícitamente queremos decir “con respecto a la Tierra”, pero el marco de referencia debe especificarse siempre que pueda haber confusiones.
Imagen 3. Plano cartesiano
Descripción de la Imagen 3. Plano cartesiano. Plano cartesiano estándar en el cual dos rectas se intersectan perpendicularmente. El punto de interacción es el origen 0. La recta horizontal recibe el nombre de las x, a la derecha +x y a la derecha −x (menos x). La recta vertical recibe el nombre de las y, hacia arriba +y, y hacia abajo −y (menos ye).
Al especificar el movimiento de un objeto, es importante indicar no sólo la rapidez, sino también la dirección del movimiento. A menudo podemos indicar dirección o sentido de un movimiento usando los puntos cardinales norte, sur, este y oeste, y con las instrucciones “hacia arriba” y “hacia abajo”. En física con frecuencia se dibuja un sistema de ejes coordenados, como se muestra en la Imagen 3, para representar un marco de referencia. Siempre podemos elegir la posición del origen (0) y el sentido de los ejes x y y como mejor nos convenga. Los ejes x y y siempre son perpendiculares entre sí. Los objetos situados a la derecha del origen de coordenadas (0) sobre el eje x tienen una coordenada x que usualmente se considera positiva; del mismo modo, los puntos situados a la izquierda del 0 usualmente tienen una coordenada x negativa. La posición a lo largo del eje y se considera usualmente positiva arriba del 0, y negativa abajo del 0; aunque la convención contraria podría usarse si así conviene. Cualquier punto sobre el plano se especifica dando las coordenadas x y y. En tres dimensiones, se agrega un eje z que es perpendicular a ambos ejes x y y.
Para el movimiento unidimensional, a menudo elegimos el eje x como la línea a lo largo de la cual se lleva a cabo el movimiento. La posición de un objeto en cualquier momento se define como el valor de su coordenada x. Si el movimiento es vertical, como en el caso de un objeto que cae, por lo general usamos el eje y.
Imagen 4. Vector ubicado en plano
Descripción de la Imagen 4. Vector ubicado en plano. Una persona camina 70 m hacia el este (eje x positivo) y luego 30 m hacia el oeste (eje x negativo). La distancia total recorrida es 100 m (el camino recorrido se muestra con la línea punteada negra que va desde 0 hasta 100 m y se devuelve 30 m hasta quedar en 40 m); pero el desplazamiento, que se muestra con una flecha más gruesa, es de 40 m hacia el este (desde 0 hasta 40 m).
Es necesario hacer una distinción entre la distancia recorrida por un objeto y su desplazamiento, el cual se define como el cambio de posición del objeto. Es decir, el desplazamiento muestra que tan lejos está el objeto del punto de partida. Para ver la distinción entre distancia total y desplazamiento, imagine una persona que camina 70 m hacia el este y que luego regresa al oeste una distancia de 30 m (véase la Imagen 4). La distancia total recorrida es de 100 m, pero el desplazamiento es sólo de 40 m, ya que la persona está ahora a sólo 40 m del punto de partida.
El desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Tales cantidades se llaman vectores y se representan usando flechas en los diagramas. Por ejemplo, en la Imagen 4, la flecha gruesa representa el desplazamiento, cuya magnitud es de 40 m y cuya dirección es hacia la derecha (este).
En el próximo capítulo veremos los vectores con mayor detalle. Por ahora, trataremos sólo el movimiento de una partícula en una dimensión, a lo largo de una línea. En este caso, los vectores que señalen en una dirección tendrán un signo positivo, además de su magnitud; mientras que los vectores que señalen en sentido opuesto tendrán un signo negativo, además de su magnitud.
Imagen 5. Vector distancia
Descripción de la Imagen 5. Vector distancia. La flecha que empieza en 10 y termina en 30 en el eje x positivo, representa el desplazamiento x2 – x1 (x2 menos x1). Las distancias están en metros.
Considere el movimiento de un objeto durante un intervalo de tiempo dado. Suponga que en un momento inicial, llamado t1, el objeto está sobre el eje x en una posición x1 del sistema coordenado que se muestra en la Imagen 5. En algún tiempo posterior, t2, suponga que el objeto se ha movido a una posición x2. El desplazamiento del objeto es x2 − x1 (x2 menos x1) y se representa mediante la flecha gruesa que apunta hacia la derecha en la Imagen 5. Es conveniente escribir:
Δx = x2 – x1
La ecuación se lee, delta de x = x2 menos x1.
Donde el símbolo Δ (letra griega delta) significa “cambio en”. Así que Δx significa “el cambio en x” o “cambio en la posición”, que es el desplazamiento. Advierta que el “cambio en” cualquier cantidad, significa el valor final de esa cantidad, menos el valor inicial.
Suponga que x1 = 10,0 m y x2 = 30,0 m. Entonces,
Δx = x2 – x1 = 30,0 m – 10,0 m = 20,0 m
Por lo que el desplazamiento es de 20,0 m en la dirección positiva (véase la Imagen 5).
Ahora considere un objeto que se mueve hacia la izquierda, como se muestra en la Imagen 6. En este caso, una persona inicia su movimiento en x1 = 30,0 m y camina hacia la izquierda hasta la posición x2 = 10,0 m. De modo que su desplazamiento es
Δx = x2 – x1 = 10,0 m – 30,0 m = −20,0 m
Que está representado por la flecha gruesa que señala hacia la izquierda (Imagen 6). Para el movimiento unidimensional a lo largo del eje x, un vector que señala hacia la derecha tiene un signo positivo; en tanto que un vector que señala hacia la izquierda tiene un signo negativo.
Imagen 6. Distancia x negativo
Descripción de la Imagen 6. Distancia x negativo. Para un desplazamiento delta de x= x2 menos x1 = 10 m – 30 m, el vector desplazamiento apunta hacia la izquierda a lo largo del eje x como una flecha más gruesa.
Velocidad promedio
El aspecto más evidente del movimiento de un objeto es qué tan rápido se mueve, es decir, su rapidez o velocidad.
El término “rapidez” se refiere a qué tan lejos viaja un objeto en un intervalo de tiempo dado, independientemente de la dirección y el sentido del movimiento. Si un automóvil recorre 240 kilómetros (km) en 3 horas (h), decimos que su rapidez promedio fue de 80 km/h. En general, la rapidez promedio de un objeto se define como la distancia total recorrida a lo largo de su trayectoria, dividida entre el tiempo que le toma recorrer esa trayectoria:
Rapidez promedio = distancia recorrida ÷ tiempo transcurrido
Los términos “velocidad” y “rapidez” a menudo se utilizan indistintamente en el lenguaje cotidiano. Sin embargo, en física hacemos una distinción entre ambos. La rapidez es simplemente un número positivo con unidades. Por otro lado, el término velocidad se usa para indicar tanto la magnitud (es decir, el valor numérico) de qué tan rápido se mueve un objeto, como la dirección en la que se mueve. (Por lo tanto, la velocidad es un vector).
Existe una segunda diferencia entre rapidez y velocidad; a saber, la velocidad promedio se define en términos del desplazamiento, en vez de la distancia total recorrida:
Velocidad promedio = desplazamiento ÷ tiempo
Velocidad promedio = (posición final – posición inicial) ÷ tiempo
Que se lee, velocidad promedio = (posición final menos posición inicial) sobre tiempo
La rapidez promedio y la velocidad promedio tienen la misma magnitud cuando todo el movimiento ocurre en la misma dirección y sentido. En otros casos, pueden diferir: recuerde la caminata que describimos antes, en la Imagen 4, donde una persona caminó 70 m al este y luego 30 m al oeste. La distancia total recorrida fue de 70 m + 30 m = 100 m, pero el desplazamiento fue de 40 m. Suponga que esta caminata duró en total 70 s. Entonces, la rapidez promedio fue:
Distancia tiempo ÷ transcurrido = 100 m ÷ 70 s = 1,4 m/s
Por otro lado, la magnitud de la velocidad promedio fue:
Desplazamiento ÷ transcurrido = 40 m ÷ 70 s = 0,57 m/s
Esta diferencia entre la rapidez y la magnitud de la velocidad puede ocurrir cuando se calculan valores promedio.
En general para analizar el movimiento unidimensional de un objeto, suponga que en un momento dado llamado t1, el objeto está en la posición x1 del eje x de un sistema coordenado, y que en un tiempo posterior t2, el objeto se ha movido a la posición x2. El tiempo transcurrido es Δt = t2 − t1 (delta de t = t2 menos t1) y durante este intervalo de tiempo el desplazamiento del objeto fue Δx = x2 − x1 (delta de x = x2 menos x1). La velocidad promedio, definida como el desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido, puede escribirse como:
v ̅=(x_2-x_1)/(t_2-t_1 )=∆x/∆t
La ecuación que se lee, v barra = (x2 menos x1) sobre (t2 menos t1) =delta de x sobre delta de t.
Donde v representa velocidad y la barra sobre la v es un símbolo estándar que significa “promedio”. (Algunos autores la llaman también “velocidad media”).
Para el caso usual del eje +x dirigido hacia la derecha, note que si x2 es menor que x1, el objeto se mueve hacia la izquierda y, entonces, Δx = x2 − x1 (delta de x = x2 menos x1) es menor que cero. El signo del desplazamiento, y por consiguiente el signo de la velocidad promedio, indica entonces la dirección y el sentido del movimiento: la velocidad promedio es positiva si el objeto se mueve hacia la derecha a lo largo del eje –x (menos x), y es negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda, a lo largo del eje x. La dirección de la velocidad promedio es siempre la misma que la del desplazamiento.
Advierta que siempre es importante elegir (y especificar) el tiempo transcurrido o intervalo de tiempo, t2− t1 (t2 menos t1), es decir, el tiempo que transcurre durante nuestro periodo de observación elegido.