Superficies Cuadráticas

Ya se reviso el sistema de coordenadas descritas anteriormente, por lo cual a continuación se explicará las 6 superficies cuadráticas.

Definición

Las superficies cuádricas son los gráficos de las ecuaciones que pueden expresarse en la forma

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0

Tal como se muestra en la ecuación, estas superficies satisfacen una ecuación de segundo grado en (x,y,z) y también son llamadas superficies cuadráticas o cuádricas

Gráficos de Superficies Cuádricas

Elipsoide

Es una superficie curva cerrada con secciones elípticas ortogonales.

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

  • Todas las trazas son elipses.
  • Si a = b = c, el elipsoide es una esfera.

Cono

Es una superficie similar a un hiperboloide de una hoja, con la diferencia que tiene un punto de convergencia donde emergen dos formas cónicas.

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}

  • Las trazas horizontales son elipses. 

Recibe el nombre de cono (o circular si el cono a=b)

Paraboloide Elíptico

Se crea al deslizar una parábola vertical con concavidad hacia abajo, con otra, perpendicular a la primera; tiene secciones horizontales elipses, mientras que, las verticales son parábolas.

  • Las trazas horizontales son elipses.
  • Las trazas verticales son parábolas.
  • La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide.

\frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}

Paraboloide hiperbólico

Es una superficie que tiene en una dirección en forma de parábola, hacia arriba y, en la sección perpendicular, en forma de parábola hacia abajo. Es un plano alabeado.

\frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}

  • Las trazas horizontales son hipérbolas.
  • Las trazas verticales son parábolas.

Hiperboloide de una Hoja

Es la superficie que se genera al deslizar un segmento inclinado sobre dos circunferencias horizontales y se expresa de la siguiente manera:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

  • Las trazas horizontales son elipses.
  • Las trazas verticales son hipérbolas.
  • El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo

Hiperboloide de dos Hojas

-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

  • Las trazas horizontales son elipses si:

\begin{matrix} z > c \\ z < - c \end{matrix}

  • Las trazas verticales son hipérbolas.
  • Los dos signos menos indican dos hojas.

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