Parametrizacion de Superficies

Definición

Sea D una región del plano (u,v) y

\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}

una función vectorial de D en ℝ3. Cuando (u,v) varía en D, los puntos imágenes (x, y, z) con

\begin{matrix} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{matrix}

describen una superficie S, llamada superficie paramétrica.

Una superficie paramétrica
James Stewart. Una superficie paramétrica (CC0)

Ecuación Vectorial 

\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}

Ecuaciones paramétricas

\begin{matrix} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{matrix}

Ejemplo

Ecuación vectorial de la superficie tubular helicoidal

\overrightarrow{r}(u,v)=(3+sen(v)\cdot cos(u))\mathbf{i}+(3+sen(v)\cdot sen(u))\mathbf{j}+(u+cos(v))\mathbf{k}

  1. Identificar las ecuaciones paramétricas 

(3+sen(v)\cdot cos(u))

(3+sen(v)\cdot sen(u))

(u+cos(v))

Superficie Tubular Helicoidal
John Enriquez. Superficie Tubular Helicoidal (CC0)

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