Sistemas numericos
Teoría de Conjuntos
George Cantor (1845 - 1918) fue un mátemático alemán que inventó la teoría de conjuntos, siendo el primero en definir e identificar el concepto de infinito bajo la forma de números transfinitos (cardinalidad y ordinales).
Aguilar A, Valapai F, Matemáticas Simplificadas 2da ed. pág 223)
Si deseas profundizar un poco más sobre tu historia te invitamos a revisar el siguiente enlace
Transcripción del vídeo "George Cantor"
Introducción
Conocimiento previo
Haber aprobado el módulo :
Sistemas de numeración:
- Introducción e importancia de las ciencias de la computación
- Sistema binario
- Sistema hexadecimal
- Sistema octal
Contenidos
El presente módulo abordará los temas:
- Conjuntos y sus propiedades
- Operaciones con conjuntos
- Relaciones de conjuntos
- Aplicaciones de la teoría de conjuntos en las ciencias de la computación
Teoría de Conjuntos
Concepto de Conjuntos
Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. (no hay ambiguedad ni subjetividad)
Ejemplos de conjuntos:
φ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Simbología a recordar
{ } Conjunto.
∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
| Tal que.
n(C ) Cardinalidad del conjunto C.
U Conjunto universo.
φ Conjunto vacío.
⊆ Subconjunto de.
⊂ Subconjunto propio de.
⊄ No es subconjunto propio de.
> Mayor que.
< Menor que.
≥ Mayor o igual que.
≤ Menor o igual que.
∩ Intersección de conjuntos.
∪ Unión de conjuntos.
A Complemento del conjunto A.
= Símbolo de igualdad.
≠ No es igual a.
. . . El conjunto continúa.
⇒ Entonces.
⇔ Si y sólo si.
∼ No (es falso que).
∧ y
∨ o
Estructura y Representación
DESCRIPTIVA
Por ejemplo: |
S = { x ∈ N | x es divisor de 6 }. |
M = {m ∈ N | m < 5}. |
A = {x ∈ Z | x + 8 = 10}. |
ENUMERATIVA
Enumerativa o por extensión:
Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite se considera una sola vez
Por ejemplo: |
S = { 6,18,24,36,..... }. |
M = {1, 2, 3, 4} |
A = {2} |
Cardinalidad
Es el número de elementos que contiene un conjunto.
Ejemplo
A = { x | x es compuesto menor que 10, x ∈ N }?
Solución
El conjunto A, en forma enumerativa, es:
A = { 4, 6, 8, 9 }
Entonces su cardinalidad es 4 y se denota: n(A) = 4
Tipos de conjuntos
Conjunto finito
Es aquel conjunto con cardinalidad definida.
Ejemplo
B = { x | x es un día de la semana }
B = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }
El conjunto tiene 7 elementos, es decir su cardinalidad está definida, por tanto es finito.
Conjunto infinito
Es aquél cuya cardinalidad no está definida, por ser demasiado grande para cuantificarlo.
Ejemplo
C = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 }
C = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27, 30,… }
El conjunto continúa indefinidamente, no se puede determinar su número de elementos, por tanto, su cardinalidad es infinita y se escribe como:
n(C ) = ∞
Conjunto Vacío
Es aquel que carece de elementos y se denota con el símbolo φ o bien { }.
Ejemplo:
D = { x ∈ N | 2x − 1= 0 }
El único valor de x que satisface la igualdad es 1pero no pertenece al conjunto de los números naturales, por tanto,
el conjunto D es vacío. D={ }= φ
su cardinalidad es n(D) = 0
Conjuntos Equivalentes
Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice que A es equivalente a B si y sólo si tiene la misma cardinalidad; se denota:
A ≅ B y se lee A es equivalente a B.
Ejemplo
Si A = { x ∈ N | x <5} y B = { a, e, i, o } comprueba que A es equivalente a B.
Las cardinalidades son: n(A) = 4, n(B) = 4, por tanto, se concluye que ambos son equivalentes. A ≅ B.
Conjuntos Iguales
Son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos.
Ejemplo
A = { x ∈ N | x es divisor de 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
A = { 1, 2, 3, 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
Sus cardinalidades son: n(A) = n(B) = 4
Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos, por tanto, los conjuntos son iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
Son aquellos que no tienen elementos comunes.
Ejemplo
R = { x ∈ N | x es divisor de 5 } y S = { x ∈ N | 2 < x < 5 }?
Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
R = { 1, 5, } y S = { 3, 4, }
Los conjuntos no tienen elementos en común, por tanto, los conjuntos R y S son disjuntos.
Subconjuntos
Dado un conjunto S se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S
y se denota por A ⊆ S.
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplo
Dados los conjuntos S = { x | x es dígito } y A = { 2, 4, 6, 8 }, verifica que A ⊆ S.
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Los elementos de A están contenidos en S, por tanto,
A ⊆S.
Subconjunto propio
Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elementos de B están en A y no son equivalentes
Ejemplo
Sean los conjuntos L = { 2, 4, 5, 6, 8 } y M = { 2, 4, 6 }, verifica que M ⊂ L.
Los elementos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente, M ⊂ L.
Número de subconjuntos de un conjunto. El número de subconjuntos está dado por la fórmula:
N(s) = 2n n = cardinalidad
Ejemplo
R = { a, b, c, d }
La cardinalidad del conjunto es 4, entonces n = 4 y al aplicar la fórmula se obtiene 24
Número de subconjuntos = = 16
Conjunto Potencia
Se le llama así al conjunto que forman todos los subconjuntos de un conjunto. Ejemplo
T = { 2, 4, 6 }
El número de subconjuntos de T es:
N(s) = 23 = 8
El conjunto potencia está formado por 8 subconjuntos de cero, uno, dos y tres elementos, los cuales son:
{{ },{ 2 },{ 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6 },{ 2, 4,6 }}
Conjunto Universo
Sean A, B, C, …, subconjuntos de un conjunto U, a este último se le llama conjunto universo de los conjuntos dados. Ejemplo
Sea U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y los conjuntos A, B y C tales que:
A = { 2, 4, 6, 8 }, B = { 1, 2, 3, 4 } y C = { 1, 2, 6, 7 }
Como A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U, siendo U el conjunto universo.
Diagramas de Venn
Es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos o rectángulos; por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos delimitan al conjunto universo. Ejemplo:
Dibuja en un diagrama de Venn los conjuntos
U = { 2,4,5,6,9,10,11,12,13,16,21,23}
M = { 2,5,9,10 }
N = { 2, 4,6,9 }
L = { 2, 4,5,16,21}
Descripción de la gráfica: En el diagrama se refleja un rectángulo mayor llamado U que abarca 3 ciículos que representan los 3 conjuntos. En el lado superior izquierdo está el conjunto M con el número 10 , el 9 y 2 están en intersección con el conjunto N, lado superior derecho. Cabe señala que el número 2 está también en intersección con el conjunto L, ubicado en la parte inferior central, dentro del rectángulo. El conjunto N tiene sin intersección alguna al número 6. Entre el conjunto M y L están en intersección los números 5 y 2, quedando dentro del conjunto L sin intersección los números 15 y 21. Entre el conjunto N y L están en intersección los números 2 y 4. Con ello el número que intersecta entre los 3 conjuntos es el número 2. Afuera de los 3 conjuntos, pero dentro del rectángulo, encontramos a los números 13, 23, 11 y 12.
Operaciones con conjuntos
UNION
Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, se define:
A ∪ B = { x | x ∈A o x ∈B }
Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se intersectan y representan a los conjuntos A y B que se encuentran sombreados.
INTERSECCIÓN
Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B se defi ne:
A ∩ B = { x | x ∈A y x ∈B }
Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se intersectan y representan a los conjuntos A y B. En este caso se encuentra sombreado solamente la intersección o cruce de los 2 conjuntos.
COMPLEMENTO
Sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A se define:
A´ = { x | x ∈ U y x ∉ A }
El conjunto solución contiene a los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A y se representa como A´ o Ac.
Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 1 círculo que representa al conjuntos A . Se representa sombreando la región fuera del conjunto A y dentro del Rectángulo.
DIFERENCIA
Sean A y B conjuntos no vacíos, se define la diferencia como el conjunto que contiene a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen al conjunto B. La diferencia se representa como A − B.
A − B = A ∩ B c = { x | x ∈ A y x ∉ B }
Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado unicamente la zona de A sin considerar la parte de intersección con B.
DIFERENCIA SIMETRICA
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, que se denota como (A ♁ B), es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero no están en el conjunto B y también a los elementos del conjunto B que no están en A. Dicho de otra manera, el conjunto (A♁B) contiene a todos los elementos que se encuentran en (A U B) pero que no están en (A ∩ B)
(A♁B)= x|( x ∈ A y x ∉ B) o ( x ∈ B y x ∉ A)
Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado A y B, pero no la intersección entre ellos.
Leyes de conjuntos
1.Doble negación
a) A´=A |
2. Ley conmutativa a)A U B = B U A
b)A ∩ B = B ∩ A
|
3. Ley asociativa a)A U (B U C)=(A U B) U C
b)A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C
|
4. Ley Distributiva a)A ∩ (B U C)= (A∩B) U (A∩C)
b)A U (B ∩ C)= (AUB) ∩ (A U C)
|
5. Ley de Idempotencia a) A U A = A b) A ∩ A = A c) U U U = U d) U ∩ U = U e) ø U ø = ø f) ø ∩ ø = ø |
6. Ley de Morgan a)(A U B U C)’= A’∩ B’ ∩ C’
b)(A ∩ B ∩ C)’= A’ U B’ U C’
|
7. Equivalencia a) A U A’ ∩ B = A U B |
8. Contradicción a)A ∩ A’ = ø
|
9. Propiedades del complemento a)A U A’= U
b)U’ = ø
c)Ø’ = U
|
10. Ley de identidad a) A U U = U b) A ∩ U = A c) A U ø = A d) A ∩ ø = ø e) A U A ∩ B = A ∩ (U U B) = A |
11. Diferencia a) (A – B) = A ∩ B’ |
12. Diferencia simétrica a)(A ♁ B) = A ∩ B’ U A’ ∩ B
b)(A ♁ B) = (A – B) U (B – A)
13. Ley de Absorción
A U (A ∩ B) = A A ∩ (A U B) = A |
Relaciones de Conjuntos
La definición de relación es la siguiente: dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento “a” esta relacionado con el segundo elemento “B” por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica como a R b:
R={(a,b) | a ∈ A y b ∈ B}
Una relación es una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros.
Asi tenemos a:
- Producto cartesiano
- Relaciones binarias
- Matriz de una relación
- Grafo de una relación
Aplicación de la Teoría de conjuntos
Prácticamente todos los campos de la computación se respaldan en la teoría de conjuntos. Por ejemplo:
- Bases de datos relacionales: Una relación es un conjunto y en bases de datos es posible llevar a cabo operaciones entre relaciones, obteniendo información en forma organizada y concreta
- Lenguajes de programación y su conjunto de símbolos terminales que marcan el límite de palabras válidas de un lenguaje.
- Redes de computadoras, donde se pueden aplicar las operaciones de unión, intersección, complementación, composición y ley de Morgan. La representación grafica de los conjuntos se conoce en computación como teoría de grafos .
Actividades
A continuación tendrás actividades interactivas de investigación como es el uso de simuladores, de igual manera actividades no interactivas como son lecturas informativas sobre la aplicabilidad de Sistemas de conjuntos
Simulador de operaciones
Te invitamos a revisar el simulador de operaciones con conjuntos en el siguiente enlace a simulador
Lecturas recomendadas
Teoría de conjuntos
Puedes revisar más información sobre la Teoría de Conjuntos y Filosofía en la propuesta de la editorial Alfaomega , ingresando al siguiente enlace
Te recomendamos realizar un mapa conceptual de toda la información revisada.
Presentación de la Teoría de conjuntos
Te compartimos esta importante presentación sobre teoría de conjuntos de la editorial Alfaomega ingresando al siguiente enlace
Identifica lo aprendido hasta el momento y haz comparaciones
Autoevaluación
A continuación se presentan actividades de revisión literaria las cuales serán revisadas en mapas conceptuales para control de lectura
Pregunta Verdadero-Falso
Retroalimentación
Falso
La colección pertenece a elementos bien definidos con naturaleza similar
Retroalimentación
Verdadero
Por lo general la forma de representar un conjunto viene delimitada por su nombre (letra mayúscula) y sus elementos entre llaves. Por ejemplo :
El conjunto de las vocales: A={a, e, i, o, u}
El conjunto de los dígitos: B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Rellenar huecos
Pregunta de Selección Múltiple
Solución
Pregunta de Elección Múltiple
Minilibro electrónico Modular
minilibro epub sobre Teoría de Conjuntos
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Glosario
Nota: La mayoría de conceptos son tomados de wikipedia y la RAE con algunas modificaciones propias de la materia
Conjunto: Colección de elementos bien definidos que pertenecen a una misma área o naturaleza
Cardinalidad: Número de elementos de un conjunto.
Intersección : Conjunto de elementos que son comunes a 2 conjuntos
Números Naturales: Son aquellos números naturales que sirven para contar elementos por lo que son enteros por ejemplo: 1,2,3,4,5,6,7,8,9...∞
Números racionales: Son los números que pueden representarse como cociente de 2 números enteros (sin que el denominador de la facción sea 0)
Números Reales: Son aquellos números que incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y cero ) como a los números irraccionales ( con decimales infinitos)
Números complejos: Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.
Dígitos: Signo que representa un número y ocupa una única posición en un sistema de numeración.
Diagramas de Venn: Representación gráfica de conjuntos en figuras circulares que al intersectarse representan áreas comunes. por lo general se encuentran dentro de un rectágulo
Idempotencia: propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez
Morgan: Reglas de transformación e inferencia validas que son representadas en lenguaje formal
Producto Cartesiano : operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.
Grafos : Estructuras gráficas conformada por circulos que muestran relaciones existentes con flechas direccionadas
Referencias
- Aguilar Márquez, A. Matemáticas Simplificadas. Pearson, 2014.
- Jiménez Murillo, J. A. Matemáticas para la Computación. Alfaomega, 2015.
- Claustro docente ICC de la Universidad Politécnica Salesiana (2016 - actualidad)
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