Teoría de Conjuntos

George Cantor (1845 - 1918) fue un mátemático alemán que inventó la teoría de conjuntos, siendo el primero  en definir e identificar el concepto de infinito bajo la forma de números transfinitos (cardinalidad y ordinales).

Aguilar A, Valapai F, Matemáticas Simplificadas 2da ed. pág 223)

Si deseas profundizar un poco más sobre tu historia te invitamos a revisar el siguiente enlace

Introducción

Conocimiento previo

Haber aprobado el módulo :

Sistemas de numeración:
- Introducción e importancia de las ciencias de la computación
- Sistema binario
- Sistema hexadecimal
- Sistema octal

Contenidos

El presente módulo abordará los temas:

- Conjuntos y sus propiedades
- Operaciones con conjuntos
- Relaciones de conjuntos
- Aplicaciones de la teoría de conjuntos en las ciencias de la computación

Teoría de Conjuntos

Concepto de Conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. (no hay ambiguedad ni subjetividad)

Ejemplos de conjuntos

φ : el conjunto vacío, que carece de elementos.

N: el conjunto de los números naturales.

Z: el conjunto de los números enteros.

Q : el conjunto de los números racionales.

R: el conjunto de los números reales.

C: el conjunto de los números complejos. 

Simbología a recordar

{ }  Conjunto.
∈   Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉   No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
|    Tal que.
n(C ) Cardinalidad del conjunto C.
U   Conjunto universo.
φ   Conjunto vacío.
⊆   Subconjunto de.
⊂   Subconjunto propio de.
⊄   No es subconjunto propio de.
>    Mayor que.
<    Menor que.
≥    Mayor o igual que.
≤    Menor o igual que.
∩    Intersección de conjuntos.
∪   Unión de conjuntos.
A   Complemento del conjunto A.
=   Símbolo de igualdad.
≠    No es igual a.
. . . El conjunto continúa.
⇒   Entonces.
⇔   Si y sólo si.
∼    No (es falso que).
∧    y
∨    o

Estructura y Representación

DESCRIPTIVA

Descriptiva o por comprensión:
Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto.

Por ejemplo:

S = { x ∈ N | x es divisor de 6 }.

M = {m ∈ N | m < 5}.

A = {x ∈ Z | x + 8 = 10}.

ENUMERATIVA

Enumerativa o por extensión:

Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite se considera una sola vez

Por ejemplo:

S = { 6,18,24,36,..... }.

M = {1, 2, 3, 4}

A = {2}

Cardinalidad

Es el número de elementos que contiene un conjunto.

Ejemplo

  A = { x | x es compuesto menor que 10, x ∈ N }?

Solución

El conjunto A, en forma enumerativa, es:

A = { 4, 6, 8, 9 }

Entonces su cardinalidad es 4 y se denota: n(A) = 4

Tipos de conjuntos

Diagramas de Venn

Es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos o rectángulos; por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos delimitan al conjunto universo. Ejemplo:

Dibuja en un diagrama de Venn los conjuntos

U = { 2,4,5,6,9,10,11,12,13,16,21,23}  

M = { 2,5,9,10 }

N = { 2, 4,6,9 }  

L = { 2, 4,5,16,21}

Figura del diagrama de Venn

Descripción de la gráfica:  En el diagrama se refleja un rectángulo mayor llamado U que abarca 3 ciículos que representan los 3 conjuntos. En el lado superior izquierdo está el conjunto M  con el número 10 , el 9 y 2 están en intersección con el conjunto N, lado superior derecho. Cabe señala que el número 2 está también en intersección con el conjunto L, ubicado en la parte inferior central, dentro del rectángulo. El conjunto N tiene sin intersección alguna al número 6.  Entre el conjunto M y L están en intersección los números 5 y 2, quedando dentro del conjunto L sin intersección los números 15 y 21. Entre el conjunto N y L están en intersección los números 2 y 4. Con ello el número que intersecta entre los 3 conjuntos es el número 2. Afuera de los 3 conjuntos, pero dentro del rectángulo, encontramos a los números 13, 23, 11 y 12. 

Operaciones con conjuntos

UNION

Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, se define:

A ∪ B = { x | x ∈A o x ∈B }

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B que se encuentran sombreados.

Unión de conjuntos

INTERSECCIÓN

Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B se defi ne:

A ∩ B = { x | x ∈A y x ∈B }

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B. En este caso se encuentra sombreado solamente la intersección o cruce de los 2 conjuntos.

Intersección de conjuntos

COMPLEMENTO

Sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A se define:

A´ = { x | x ∈ U y x ∉ A }

El conjunto solución contiene a los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A y se representa como A´ o Ac.

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 1 círculo que representa al conjuntos A . Se representa sombreando la región fuera del conjunto A y dentro del Rectángulo.

Complemento de conjuntos

DIFERENCIA

Sean A y B conjuntos no vacíos, se define la diferencia como el conjunto que contiene a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen al conjunto B. La diferencia se representa como A − B.

A − B = A ∩ B c = { x | x ∈ A y x ∉ B }

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado unicamente la zona de A sin considerar la parte de intersección con B.

Diferencia de conjuntos


DIFERENCIA SIMETRICA

La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, que se denota como (A ♁ B), es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero no están en el conjunto B y también a los elementos del conjunto B que no están en A. Dicho de otra manera, el conjunto (A♁B) contiene a todos los elementos que se encuentran en (A U B) pero que no están en (A ∩ B)

(A♁B)= x|( x ∈ A y x ∉ B) o ( x ∈ B y x ∉ A)

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado  A y B, pero no la intersección entre ellos.

Diferencia simétrica de conjuntos

Leyes de conjuntos

1.Doble negación

a) A´=A

2. Ley conmutativa

a)A U B = B U A
b)A ∩ B =  B ∩ A

3. Ley asociativa

a)A U (B  U C)=(A U B)  U C
b)A ∩ (B  ∩ C)= (A ∩ B)  ∩ C

4. Ley Distributiva

a)A ∩ (B  U C)= (A∩B) U (A∩C)
b)A U (B  ∩ C)= (AUB) ∩ (A U C)

5. Ley de Idempotencia

a) A U A = A

b) A ∩ A = A

c) U U U = U

d) U ∩ U = U

e) ø U ø = ø

f) ø ∩ ø = ø

6. Ley de Morgan

a)(A U B  U C)’= A’∩ B’ ∩ C’
b)(A ∩ B  ∩ C)’= A’ U B’ U  C’

7. Equivalencia

a) A U A’ ∩ B = A U B

8. Contradicción

a)A ∩ A’ = ø

9. Propiedades del complemento

a)A U A’= U
b)U’ = ø
c)Ø’ = U

10. Ley de identidad

a) A U U = U

b) A ∩ U = A

c) A U ø = A

d) A ∩ ø = ø

e) A U A ∩ B = A ∩ (U U B) = A

11. Diferencia

a) (A – B) = A ∩ B’

12. Diferencia simétrica

a)(A ♁ B) = A ∩ B’ U A’ ∩ B
b)(A ♁ B) = (A – B) U (B – A)
13. Ley de Absorción

A U (A ∩ B) = A
A ∩ (A U B) = A
 

Relaciones de Conjuntos

La definición de relación es la siguiente: dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento “a” esta relacionado con el segundo elemento “B” por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica como a R b:

R={(a,b) | a ∈ A y b ∈ B}

Una relación es una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros.

Asi tenemos a:

  1. Producto cartesiano
  2. Relaciones binarias
  3. Matriz de una relación
  4. Grafo de una relación

Aplicación de la Teoría de conjuntos

Prácticamente todos los campos de la computación se respaldan en la teoría de conjuntos. Por ejemplo:

  • Bases de datos relacionales: Una relación es un conjunto y en bases de datos es posible llevar a cabo operaciones entre relaciones, obteniendo información en forma organizada y concreta
  • Lenguajes de programación y su conjunto de símbolos terminales que marcan el límite de palabras válidas de un lenguaje.
  • Redes de computadoras, donde se pueden aplicar las operaciones de unión, intersección, complementación, composición y ley de Morgan. La representación  grafica de los conjuntos se conoce en computación como teoría de grafos .

Actividades

A continuación tendrás actividades interactivas de investigación como es el uso de simuladores, de igual manera actividades no interactivas como son lecturas informativas sobre la aplicabilidad de Sistemas de conjuntos

Simulador de operaciones

Te invitamos a revisar el simulador de operaciones con conjuntos en el siguiente enlace a simulador

Imagen de portada del simulador

Lecturas recomendadas

Teoría de conjuntos

Puedes revisar más información sobre la Teoría de Conjuntos y Filosofía en la propuesta de la editorial Alfaomega  , ingresando al siguiente enlace 

Te recomendamos realizar un mapa conceptual de toda la información revisada.

Presentación de la Teoría de conjuntos

Te compartimos esta importante presentación sobre teoría de conjuntos de la editorial Alfaomega ingresando al siguiente enlace 

Identifica lo aprendido hasta el momento y haz comparaciones

Autoevaluación

A continuación se presentan actividades de revisión literaria las cuales serán revisadas en mapas conceptuales para control de lectura

Pregunta Verdadero-Falso

Pregunta 1

Un conjunto es una colección infinita de elementos cualesquiera sea su naturaleza.

Pregunta 2

La representación de un conjunto está indicada por una letra mayúscula y sus elementos se colocan entre llaves

Rellenar huecos

Lea el párrafo que aparece abajo y complete las palabras que faltan.

el conjunto de los números naturales se representa con la letra
el conjunto de los números enteros se representa con la letra
el conjunto de los números racionales se representa con la letra:
el conjunto de los números reales se representa con la letra:
el conjunto de números complejos se representa con la letra:

Habilitar JavaScript

Pregunta de Selección Múltiple

Pregunta

Señale cuales de las siguientes opciones corresponde a  una  representación por descripción

Respuestas

S = { x ∈ N | x es divisor de 6 }.

S={6,12,18,24,30,36,...}

M={1,2,3,4}

M={m∈ N| m<5}

Retroalimentación

Pregunta de Elección Múltiple

Pregunta

Con respecto a la cardinalidad de un conjunto, señale la respuesta correcta

Respuestas

Se enlistan los elementos de un conjunto

Es aquel que carece de elementos y se denota con el símbolo ∅

Es el número de elementos que contiene un conjunto.

Retroalimentación

Minilibro electrónico Modular

minilibro epub sobre Teoría de Conjuntos

Para revisar el archivo adjunto, te sugerimos bajarte un complemento en tu navegador para visualizar libros epub o bajate el archivo y visualiza en  algún lector de epub.

Glosario

Nota: La mayoría de conceptos son tomados de wikipedia y la RAE con algunas  modificaciones propias de la materia

Conjunto: Colección de elementos bien definidos que pertenecen a una misma área o naturaleza

Cardinalidad: Número de elementos de un conjunto.

Intersección : Conjunto de elementos que son comunes a 2 conjuntos 

Números Naturales: Son aquellos números naturales que sirven para contar elementos por lo que son enteros por ejemplo: 1,2,3,4,5,6,7,8,9...∞

Números racionales: Son los números que pueden representarse como cociente de 2 números enteros (sin que el denominador de la facción sea 0) 

Números Reales: Son aquellos números que incluye tanto a los números racionales  (positivos, negativos y cero ) como a los números irraccionales ( con decimales infinitos)

Números complejosLos números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.

DígitosSigno que representa un número y ocupa una única posición en un sistema de numeración.

Diagramas de Venn: Representación gráfica de conjuntos en figuras circulares que al intersectarse representan áreas comunes. por lo general se encuentran  dentro de un rectágulo 

Idempotencia: propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez

Morgan: Reglas de transformación e inferencia validas que son representadas en lenguaje formal

Producto Cartesiano : operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Grafos : Estructuras gráficas conformada por circulos que muestran relaciones existentes con flechas direccionadas

Referencias

 
  • Aguilar Márquez, A. Matemáticas Simplificadas. Pearson, 2014.
  • Jiménez Murillo, J. A. Matemáticas para la Computación. Alfaomega, 2015.
  • Claustro docente ICC  de la Universidad Politécnica Salesiana (2016 - actualidad)

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