Equivalencias Lógicas

Equivalencias Lógicas

En lógica proposicional, las equivalencias lógicas son expresiones que tienen el mismo valor de verdad, es decir, que siempre son verdaderas o siempre son falsas en todas las posibles combinaciones de valores que se les asignen a sus variables. En otras palabras, dos proposiciones son equivalentes si ambas mantienen el mismo valor de verdad bajo todas las posibles interpretaciones.

Algunas equivalencias lógicas comunes en la lógica proposicional son las siguientes:

1. Ley de la doble negación: La doble negación de una proposición resulta en la proposición original.

  • Equivalencia: ¬(¬P) ≡ P


2. Ley de identidad: Una proposición siempre es equivalente a ella misma.

  • Equivalencia: P ≡ P


3. Ley de idempotencia: Si combinamos una proposición consigo misma utilizando los conectores "Y" o "O", el resultado es la misma proposición.

  • Equivalencias:P ∧ P ≡ P : P ∨ P ≡ P


4. Ley de distribución: La disyunción puede distribuirse sobre la conjunción, y viceversa.

  • Equivalencias:P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)  :  P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)


5. Ley de De Morgan: La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones, y viceversa.

  • Equivalencias:¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q  : ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

Ejemplos

1. Ley de la doble negación

  • Equivalencia: ¬(¬P) ≡ P
  • Ejemplo:
    • P: "Está lloviendo."
    • ¬(¬P): "No es cierto que no esté lloviendo."
    • Resultado: "Está lloviendo."


2. Ley de identidad

  • Equivalencia: P ≡ P
  • Ejemplo:
    • P: "El cielo está despejado."
    • P ≡ P: "El cielo sigue estando despejado."

3. Ley de idempotencia

  • Equivalencia: P ∧ P ≡ P
  • Ejemplo (Conjunción):
    • P: "Tengo hambre."
    • P ∧ P: "Tengo hambre y, además, tengo hambre."
    • Resultado: "Tengo hambre."

4. Ley de distribución

  • Equivalencia: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
  • Ejemplo:
    • P: "Voy al cine."
    • Q: "Hace frío."
    • R: "Está nublado."
    • P ∧ (Q ∨ R): "Voy al cine y (hace frío o está nublado)."
    • (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R): "Voy al cine y hace frío, o voy al cine y está nublado."
    • Resultado: Ambas expresiones son equivalentes.

5. Ley de De Morgan

  • Equivalencia: ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
  • Ejemplo:
    • P: "Hace calor."
    • Q: "Está soleado."
    • ¬(P ∧ Q): "No hace calor o no está soleado."
    • ¬P ∨ ¬Q: "No hace calor o no está soleado."
    • Resultado: Ambas expresiones son equivalentes.

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