Fundamentos del cálculo diferencial

Fundamentos del cálculo diferencial

Para abordar correctamente el diferencial concepto, es crucial familiarizarse con varias ideas esenciales que forman la base del cálculo diferencial. Estos conceptos incluyen límites, continuidad, derivadas y aplicaciones de la derivada.

Límites

En términos simples, un límite en cálculo diferencial se refiere al valor al que se aproxima una función a medida que la variable independiente se acerca a un cierto punto. Matemáticamente, esto se expresa como:

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donde ‘L’ es el valor límite que la función ‘f(x)’ alcanza cuando ‘x’ se aproxima a ‘a’. Esta definición nos permite no solo describir el comportamiento de funciones en puntos concretos, sino también examinar situaciones en las que este comportamiento puede ser discontinuo.

Continuidad

En cálculo, una función es continua en x = a si, y solo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:

  1. La función se define en x = a ; es decir, f (a) es igual a un número real
  2. El límite de la función cuando x se acerca a existe
  3. El límite de la función cuando x se acerca a a es igual al valor de la función en x = a

Hay tres tipos básicos de discontinuidades:

  1. Discontinuidad removible (punto) : el gráfico tiene un agujero en un solo valor de x . Imagínese que está caminando por la calle y alguien ha quitado una tapa de alcantarilla (¡cuidado! ¡No se caiga!). Esta función satisfará la condición # 2 (el límite existe) pero fallará la condición # 3 (el límite no es igual al valor de la función).
  2. Discontinuidad infinita : la función va hacia el infinito positivo o negativo. Imagina una carretera que se acerca cada vez más a un río sin puente hacia el otro lado.
  3. Saltar discontinuidad : el gráfico salta de un lugar a otro. Imagínense a un superhéroe que sale a caminar: llega a un callejón sin salida y, porque puede, vuela a otra carretera.

Ejemplo 1
¿Es f (x) continua en x = 0?

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Para verificar la continuidad en x = 0, verificamos las tres condiciones:

  1. ¿La función está definida en x = 0? Sí, f (0) = 2
  2. ¿Existe el límite de la función cuando x se acerca a 0? si
  3. ¿El límite de la función cuando x se acerca a 0 es igual al valor de la función en x = 0? si

Dado que se cumplen las tres condiciones, f (x) es continua en x = 0.

Derivadas

Se entiende por derivada de una función, a la razón del cambio instantánea con la cual varía el valor de dicha función de acuerdo al valor de su variable independiente, por ende, se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

La derivada de una función desde el punto de vista de la geometría, no es mas que la pendiente de la recta tangente de la función f(x), por tanto se le define tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Por definición se dice, que la derivada de una función y=f(x) con respecto a «x» en un punto (a) es:

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siempre que exista.

Expresado de otra forma, la derivada de una función, es el límite que hay entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.

La derivada de y=f(x) con respecto a «x» puede denotarse de varias formas:

d/dx y  ;    dy/dx  ;     y´  ;       f´(x)   ;      d/dx f(x)

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