Resolución del Ejercicio Propuesto

Solución del Ejercicio

Resolvamos la relación de recurrencia:

an = 4an-1 - 4an-2, con a0 = 1 y a1 = 4

  1. Ecuación característica:

    r2 - 4r + 4 = 0

  2. Resolviendo la ecuación característica:

    r2 - 4r + 4 = (r - 2)2 = 0

    Por lo tanto, hay una raíz repetida:

    r1 = r2 = 2

  3. Forma general de la solución:

    Para raíces repetidas, la solución tiene la forma:

    an = (A1 + A2n) · 2n

    Donde A1 y A2 son constantes que se determinarán con las condiciones iniciales.

  4. Usando las condiciones iniciales:
    • Para n = 0:

      a0 = (A1 + A2 · 0) · 20 = 1

      Esto implica:

      A1 = 1

    • Para n = 1:

      a1 = (A1 + A2 · 1) · 21 = 4

      Sustituyendo A1 = 1:

      4 = (1 + A2) · 2

      Resolviendo:

      A2 = 1

  5. Solución final:

    Sustituyendo A1 = 1 y A2 = 1 en la solución general:

    an = (1 + n) · 2n

Respuesta final: La solución de la relación de recurrencia es:

an = (1 + n) · 2n

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