RRL Homogéneas con Coeficientes Constantes

Definición y Propiedades

1. Definición y Propiedades

Una relación de recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes es una ecuación de la forma:

an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k

Donde:

  • c1, c2, ..., ck son coeficientes constantes.
  • an depende linealmente de sus k términos anteriores.

Propiedades:

  • La suma de dos soluciones es también una solución.
  • Si se multiplica una solución por una constante, el resultado sigue siendo una solución.
  • El número de soluciones independientes es igual al orden de la relación (k).

Método de Resolución: Solución Característica

2. Método de Resolución: Solución Característica

Pasos:

  1. Escribe la relación de recurrencia en forma estándar.
  2. Plantea la ecuación característica correspondiente:

    rk - c1rk-1 - c2rk-2 - ... - ck = 0

  3. Resuelve la ecuación característica para obtener las raíces r1, r2, ..., rk.
  4. Escribe la solución general:

    an = A1r1n + A2r2n + ... + Akrkn

    Donde A1, A2, ..., Ak son constantes que se determinan con las condiciones iniciales.

Ejemplos y Ejercicios

3. Ejemplos y Ejercicios

Ejemplo 1:

Resuelve la relación de recurrencia homogénea con coeficientes constantes:

an = 3an-1 - 2an-2, con a0 = 1 y a1 = 2

Solución:

  1. La ecuación característica es:

    r2 - 3r + 2 = 0

  2. Resolviendo, las raíces son r1 = 1 y r2 = 2.
  3. La solución general es:

    an = A1(1)n + A2(2)n

  4. Usando las condiciones iniciales:
    • a0 = 1 → A1 + A2 = 1
    • a1 = 2 → A1(1) + A2(2) = 2
  5. Resolviendo el sistema, obtenemos A1 = 0 y A2 = 1.
  6. Por lo tanto, la solución final es:

    an = 2n

Ejercicio:

Resuelve la siguiente relación de recurrencia:

an = 4an-1 - 4an-2, con a0 = 1 y a1 = 4

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