RRL No Homogéneas con Coeficientes Constantes

RRL No Homogéneas con Coeficientes Constantes

Definición y Propiedades

En esta unidad, se estudian las ecuaciones diferenciales **no homogéneas** con coeficientes constantes. Estas ecuaciones tienen un término no homogéneo (un término independiente que no depende de la variable desconocida), a diferencia de las homogéneas.

Definición: Una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes tiene la forma:

a y'' + b y' + c y = f (x)

donde \( a \), \( b \), y \( c \) son constantes, y \( f(x) \) es la función no homogénea.

Propiedades:

  • La ecuación no homogénea tiene una solución general compuesta por la solución de la ecuación homogénea asociada y una solución particular.
  • La solución particular depende de la forma de la función \( f(x) \).

Método de Resolución

Variación de parámetros

El método de variación de parámetros es una técnica utilizada para resolver ecuaciones no homogéneas. Este método consiste en encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea utilizando las soluciones de la ecuación homogénea asociada.

Método de coeficientes indeterminados

Este método se utiliza cuando la función no homogénea tiene una forma conocida, como polinomios, exponenciales, senos o cosenos. Consiste en suponer una forma para la solución particular y luego determinar los coeficientes indeterminados mediante sustitución en la ecuación.

Ejemplos y Ejercicios

Ejemplo 1: Método de variación de parámetros

Considera la ecuación diferencial:

y'' - 3y' + 2y = e ^x

Primero, se resuelve la ecuación homogénea asociada \( y'' - 3y' + 2y = 0 \) y luego se aplica el método de variación de parámetros para encontrar la solución particular.

Ejemplo 2: Método de coeficientes indeterminados

Considera la ecuación diferencial:

y'' + 4y' + 4y = x ^2

Para resolverla, se asume que la solución particular tiene la forma \( y_p = A x^2 + B x + C \), donde \( A \), \( B \) y \( C \) son coeficientes que se determinan mediante sustitución en la ecuación.

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