Solución del Ejercicio
Resolvamos la relación de recurrencia:
an = 4an-1 - 4an-2, con a0 = 1 y a1 = 4
- Ecuación característica:
r2 - 4r + 4 = 0
- Resolviendo la ecuación característica:
r2 - 4r + 4 = (r - 2)2 = 0
Por lo tanto, hay una raíz repetida:
r1 = r2 = 2
- Forma general de la solución:
Para raíces repetidas, la solución tiene la forma:
an = (A1 + A2n) · 2n
Donde A1 y A2 son constantes que se determinarán con las condiciones iniciales.
- Usando las condiciones iniciales:
- Para n = 0:
a0 = (A1 + A2 · 0) · 20 = 1
Esto implica:
A1 = 1
- Para n = 1:
a1 = (A1 + A2 · 1) · 21 = 4
Sustituyendo A1 = 1:
4 = (1 + A2) · 2
Resolviendo:
A2 = 1
- Para n = 0:
- Solución final:
Sustituyendo A1 = 1 y A2 = 1 en la solución general:
an = (1 + n) · 2n
Respuesta final: La solución de la relación de recurrencia es:
an = (1 + n) · 2n