Antiderivadas

Definición

El cálculo integral se ocupa del proceso inverso de derivación; es decir si tenemos la derivada de una función, el objetivo es hallar la función original.

Esta función original se denomina antiderivada o primitiva. Por ejemplo, considere la función :

Usted sabe por cálculo diferencial que:

Entonces  es la antiderivada o función primitiva de la función  y está dada por:

Y que cómo puede observar, se cumple que 

Observación

Fíjese que existen varias (infinitas) antiderivadas de , a continuación se mencionan unas pocas:

Por esta razón se habla de una antiderivada genérica de la función , y en este ejemplo se dice que la función  dada por:

Es la antiderivada de la función :

Donde  es una constante. En este curso,   representa a cualquier número real.

Definición de integral indefinida

Considere la función  continua en un intervalo; y la función que es una primitiva de .

Se dice que la expresión:

Es la integral indefinida de la función  con respecto a  y es igual a . Por tanto se escribe:



El símbolo  se llama símbolo de integración,  es el integrando,  es parte de la notación integral e indica la variable implicada, en este caso  es la variable de integración.
En resumen, la expresión:  denota la antiderivada genérica de .

En nuestro curso, el objetivo de este tema es: hallar la primitiva genérica de una función.

Ejemplo

Pruebe que la función  dada por:  es una antiderivada de la función  dada por:  Luego de probar expréselo mediante una igualdad que contiene una integral.

Para probarlo, derivamos , así:

Y lo expresamos como una igualdad que contiene una integral.

Ejercicio de aplicación