Teoría de Conjuntos

Material desarrollado por el claustro docente de ICC en colaboración con :

Paola Ingavélez, 

Jennifer Yépez, 

Ma. de Lourdes Loaiza, 

Vladimir Robles

Simbología

{} Conjunto 

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto 

∈/No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto

 | Tal que 

n(C) Cardinalidad del conjunto C

U Conjunto Universo

∅ Conjunto vacío

⊆ Subconjunto de

⊂ Subconjunto propio de

⊕ Diferencia simétrica 

∩ Intersección de conjuntos 

∪ Unión de conjuntos 

A’ Complemento del conjunto A 

= Símbolo de igualdad 

 ... El conjunto continúa

⇒ Entonces

⇔ Sí y sólo sí

Definición

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto [1]. 

a) Colección de pizarrones azules. 

b) El grupo de alemanes entre 20 y 30 años. 

c) El grupo de los mejores maestros de la especialidad de sistemas computacionales. 

d) El grupo de alumnas más guapas de informática. 

Bien definida: No debe haber ambigüedad ni subjetividad. 

Ejemplos de conjuntos: 

∅: el conjunto vacío que carece de elementos.

N: el conjunto de los números naturales.

Z: el conjunto de los números enteros.

Q: el conjunto de los números racionales.

R: el conjunto de los números reales.

C: el conjunto de números complejos.

Representación

Los conjuntos se indican por medio de una letra mayúscula y los elementos de un conjunto por medio de letras minúsculas, números o combinación de ambos.

Los elementos se colocan entre llaves { } separados por comas.  

Ejemplo:

El conjunto de las vocales: A={a, e, i, o, u}

El conjunto de los dígitos: B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

El conjunto de los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

El conjunto de los números enteros:

Z={... -, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, + ...}

El conjunto de los números racionales:

Q={x | x = p/q , p, q ∈ Z, q =0 }

Representación por Descripción o Comprensión

 Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto. Ejemplo:

S={x∈ N| x es múltiplo de 6}

M={m∈ N| m<5}

A={x∈ Z| x+8=10}

Representación Enumerativa o por Extensión

Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite se considera una sola vez. Ejemplo (basado en la anterior representación

S={6,12,18,24,30,36,...}

M={1,2,3,4}

A={2}

Diagramas de Venn

Es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que se delimitan con figuras planas como círculos o rectángulos. Por lo general, los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos delimitan al conjunto universo.  

Ejemplo: Dibuja en un diagrama de Venn los conjuntos:

U={2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 21, 23}

M={2, 5, 9, 10} N={ 2, 4, 6, 9} L={ 2, 4, 5, 16, 21}

Descripción de la gráfica:  En el diagrama se refleja un rectángulo mayor llamado U que abarca 3 ciículos que representan los 3 conjuntos. En el lado superior izquierdo está el conjunto M  con el número 10 , el 9 y 2 están en intersección con el conjunto N, lado superior derecho. Cabe señala que el número 2 está también en intersección con el conjunto L, ubicado en la parte inferior central, dentro del rectángulo. El conjunto N tiene sin intersección alguna al número 6.  Entre el conjunto M y L están en intersección los números 5 y 2, quedando dentro del conjunto L sin intersección los números 15 y 21. Entre el conjunto N y L están en intersección los números 2 y 4. Con ello el número que intersecta entre los 3 conjuntos es el número 2. Afuera de los 3 conjuntos, pero dentro del rectángulo, encontramos a los números 13, 23, 11 y 12. 

Representación: Cardinalidad

Es el número de elementos que contiene un conjunto.
Ejemplo: ¿Cuántos elementos tiene el conjunto: A={x | x es compuesto menor que 10, x ∈ N}?
Solución: El conjunto A, en forma enumerativa, es: A={ 4, 6, 8, 9}. Entonces, su cardinalidad es 4 y se denota:
n(A)=4 
Nota: Un número compuesto es todo número no primo dentro del conjunto de números naturales que tiene uno o más divisores además de si mismo  y la unidad 4,6,8,9,10, 12, 14,15 ....

Tipos de Conjuntos

Conjunto Finito

Es aquel conjunto con cardinalidad definida.

Ejemplo:

B={ x | x es un día de la semana}

B={lunes, martes, mi´ercoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

El conjunto tiene 7 elementos; es decir, su cardinalidad está definida y por tanto es finito escribiéndose como:

n(B)=7

Conjunto Infinito

Es aquel cuya cardinalidad no está definida, por ser demasiado grande para cuantificarlo.

Ejemplo:

C={x ∈ N | x es múltiplo de 3}

C={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... }

El conjunto continúa indefinidamente, no se puede determinar su número de elementos; por tanto, su cardinalidad es infinita y se escribe como:

n(C)=∞

Conjunto Vacío

Es aquel que carece de elementos y se denota con el símbolo ∅ o bien { }.

Ejemplo:

D={ x ∈ N | 2x − 1=0}

El único valor de x que satisface la igualdad es 12, pero este valor no pertenece al conjunto de los números             naturales; por tanto, el conjunto D es vacío.

D={} = ∅

Su cardinalidad es n(D)=0.

Conjuntos Equivalentes

Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice que A es equivalente a B si y sólo si tiene la misma cardinalidad. Se denota:

A ∼= B y se lee A es equivalente a B

Ejemplo:

Si A={x ∈ N | x < 5} y B={ a, e, i, o}

 comprueba que A es equivalente a B. Las cardinalidades son: n(A)=4, n(B)=4; por tanto, se concluye que ambos son equivalentes y se expresa como A ∼ = B.

Conjuntos Iguales

Son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos.

Ejemplo: 

Sean los conjuntos A={ x ∈ N | x es divisor de 6} y B={1, 2, 3, 6}

Solución:

Los conjuntos en su forma enumerativa son:

A={1, 2, 3, 6}

 B={1, 2, 3, 6}

Sus cardinalidades son: n(A) = n(B) = 4.

Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos;por tanto, los conjuntos son iguales. Es decir, A=B.

Conjuntos Disjuntos

Son aquellos que no tienen elementos comunes. 

Ejemplo: Verificar si los conjuntos R y S son disjuntos.

R={ x ∈ N | x es divisor de 5}

S={x ∈ N | 2 < x < 5}

Solución: Los conjuntos en su forma enumerativa son: 

R={1, 5} 

S={3, 4}

Los conjuntos no tienen elementos en común; por tanto los conjuntos R y S son disjuntos.

Subconjuntos

Dado un conjunto S se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S y se denota por A ⊆ S.

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto y todo conjunto es subconjunto de si mismo.

Ejemplo:

Dados los conjuntos 

S={x | x es dígito} y A={2, 4, 6, 8};  verificar que A ⊆ S.

S en su forma enumerativa es: S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Los elementos de A están contenidos en S ;por tanto, 

A⊆ S.

Subconjunto Propio

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elementos de B están en A y no son equivalentes y se representa como A ⊂ B.

Ejemplo:

Sean los conjuntos L={2, 4, 5, 6, 8} y M={2, 4, 6}. Verificar que M ⊂ L.

Los elementos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente M ⊂ L.

Número de Subconjuntos de un Conjunto

El número de subconjuntos está dado por la fórmula:

N(S)=2n     n=cardinalidad

Ejemplo:

R={a, b, c, d} 

La cardinalidad del conjunto es 4, entonces n=4 y al aplicar la fórmula se obtiene 24. 

Número de Subconjuntos = 16

Conjunto Potencia

Se le llama así al conjunto que forman todos los subconjuntos de un conjunto.

Ejemplo:

T={2, 4, 6}

El número de subconjuntos de T es: N(S) = 23 = 8.

El conjunto potencia está formado por 8 subconjuntos de cero,

uno, dos y tres elementos, los cuales son:

P={{}, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}

Conjunto Universo

Sean A, B, C, ..., subconjuntos de un conjunto U, a este último se le llama conjunto Universo de los conjuntos dados.

Ejemplo:

Sea U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos A, B y C tales

que:

A={2, 4, 6, 8} 

B={1, 2, 3, 4} 

C={1, 2, 6, 7}

Como A ⊂ U, B ⊂ U, C ⊂ U; por tanto, U el conjunto universo

Operaciones

Unión de Conjuntos

Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, se define:

A ∪ B = {x | x ∈ A ´o x ∈ B}

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B que se encuentran sombreados.

Intersección de Conjuntos

Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B se define:

A ∩ B = { x | x ∈A y x ∈B }

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B. En este caso se encuentra sombreado solamente la intersección o cruce de los 2 conjuntos.

Conjunto Complemento

Sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A se define:

A´ = { x | x ∈ U y x ∉ A }

El conjunto solución contiene a los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A y se representa como A´ o Ac.

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 1 círculo que representa al conjuntos A . Se representa sombreando la región fuera del conjunto A y dentro del Rectángulo.

Diferencia de conjuntos

Sean A y B conjuntos no vacíos, se define la diferencia como el conjunto que contiene a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen al conjunto B. La diferencia se representa como A − B.

A − B = A ∩ B c = { x | x ∈ A y x ∉ B }

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado unicamente la zona de A sin considerar la parte de intersección con B.

Diferencia simétrica de conjuntos

La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, que se denota como (A ♁ B), es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero no están en el conjunto B y también a los elementos del conjunto B que no están en A. Dicho de otra manera, el conjunto (A♁B) contiene a todos los elementos que se encuentran en (A U B) pero que no están en (A ∩ B)

(A♁B)= x|( x ∈ A y x ∉ B) o ( x ∈ B y x ∉ A)

Su diagrama de Venn se representa mediante un rectángulo que en su interior posee 2 círculos que se  intersectan y representan a los conjuntos A y B . Se encuentra sombreado  A y B, pero no la intersección entre ellos.

Leyes de conjuntos

1. Doble Negación 

(A’)’=A

2. Ley Conmutativa 

AU B = B U A

A ∩ B = B ∩ A

3. Ley Asociativa 

A U (B U C) = (A U B) U C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

4. Ley Distributiva

 A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

5. Ley de Idempotencia

A U A = A

A ∩ A = A

U U U = U

U ∩ U = U

Ø U Ø = Ø

Ø ∩ Ø = Ø

6. Ley de Morgan

(A U B  U C)’= A’∩ B’ ∩ C’

(A ∩ B  ∩ C)’= A’ U B’ U  C’

7. Equivalencia

 A U A’ ∩ B = A U B

8. Contradicción

A ∩ A’ = ø

9. Propiedades del complemento

A U A’= U

U’ = ø

Ø’ = U

10. Ley de identidad

A U U = U

A ∩ U = A

A U ø = A

A ∩ ø = ø

A U A ∩ B = A ∩ (U U B) = A

11. Diferencia

(A – B) = A ∩ B’

12. Diferencia simétirica

(A ♁ B) = A ∩ B’ U A’ ∩ B

(A ♁ B) = (A – B) U (B – A)

13. Ley de Absorción 

A U (A ∩ B) = A

A ∩ (A U B) = A

Relaciones

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento ”a” está relacionado con el segundo elemento ”b” por medio de cierta propiedad o característica [2].

La relación se indica como a R b y significa:

R={(a,b) | a ∈ A y b ∈ B}

Una relación es una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros.

Asi tenemos a:

Producto cartesiano

Relaciones binarias

Matriz de una relación

Grafo de una relación

Producto Cartesiano

El producto cartesiano de los conjuntos A y B, que se denota como AxB, es la combinación de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B. En teoría de conjuntos equivale al conjunto Universo.

Ejemplo: 

A={1,2,3} y     B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Explicación de gráfica: Se describe dos ovalos que representan al conjunto A (ovalo izquierdo) y conjunto B (ovalo derecho). El conjunto A contiene a los elementos 1, 2 y 3. El conjunto B a los elementos a y b. Se despliegan lineas de conexión entre cada elemento, esto es: 1 con a y b, 2 con a y b y 3 con a y b. A final encontramos varias lineas cruzadas que represental la relación existente entre cada elemento de A con cada elemento de B.

Relación Binaria

La relación binaria se puede representar por medio de una matriz, tabla o gráfica. 

Sus elementos son pares ordenados que se forman a partir de dos conjuntos.

En toda relación de pares ordenados no vacía se tienen dos conjuntos:

El dominio de R que se representa como Dom(R).

El codominio de R que se representa como Cod(R).

El dominio de R (Dom(R)) es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares de una relación, el cual es un subconjunto del conjunto A; por tanto, Dom(R) ⊂A.

El codominio de R (Cod(R)) es el conjunto que está formado por los segundos elementos de los pares de la relación R y, que también es subconjunto del conjunto B; por tanto, Cod(R) ⊂ B.

Sean los conjuntos:

A = {2, 4, 5, 6, 7, 11} y B = {b | b 2 Z; 1 ⊂ b ⊂ 10}

Considérese que aRb si y sólo si b es divisible entre a. Por lo tanto, los elementos de la relación son:

R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(4,4),(4,8),(5,5),(5,10),(6,6),(7,7)}

Dom(R)={2,4,5,6,7}

Cod(R)={2,4,5,6,7,8,10}

Matriz de una relación

Si A y B son dos conjuntos finitos con m y n elementos, respectivamente, y R es una relación de A en B, entonces es

posible representar a R como una matriz MR = [mij ] cuyos elementos se definen como:

mij ={ (1 si (a,b) ∈ R) ó (0 si (a,b) /∈ R)}

Ejemplo:

Sean los conjuntos 

A={1,2,3,4,5}    y 

B={1,2,3,4,5,6,7}

 y sea la relación 

R:  A ⇒ B tal que:

R={(1,2),(1,3),(2,2),(2,5),(3,2),(3,7),(4,2),(4,5),(5,6)}

Explicación de gráfica: Se describe una matriz de 5 filas por 7 columnas que representan los ejercicios descrtos anteriormente. Donde las filas serían el conjunto A y las columnas el conjunto B.  La intersección entre fila columna está representada por 0 o por 1. Acorde a la explicación tenemos al número 1 en la intersección de : fila 1 con columna 2, (mostrando así la relación 1,2)  y columna 3 (mostrando así la relación 1,3). Fila 2  con columna 2 (mostrando así la relación 2,2) y columna 5 (mostrando así la relación 2,5). Fila 3 con columna 2 (mostrando así la relación 3,2)  y columna 7 (mostrando así la relación 3,7). Fila 4 con columna 2  (mostrando así la relación 4,2) y columna 5 (mostrando así la relación 4,5). Fila 5 con columna 6 (mostrando así la relación 5,6). En todas las demás intersecciones se tiene el número 0.

Grafo de una relación

Es posible representar una relación por medio de una gráfica integrada por nodos y flechas, y a este tipo de gráfica se le conoce como ”grafo dirigido” de R, donde la relación existente se indica por medio de flechas, y ”grafo no dirigido” en el que existe direccionamiento.

Explicación de gráfica de grafo dirigido: La gráfica posee 10 circulos cada uno posee dentro el número correspondiente, esto es 1, 2, 3 ..... hasta el 10 y las relaciones entre circulos señaladas con flechas acorde a la dirección.

Explicación de gráfica de grafo no  dirigido: La gráfica presenta un triangulo mayor con vertices identificados con pequeños circulos rojos. Dentro del triangulo mayor  exiten 3 vertices que unen varios triangulos internos, donde los lados de cada triángulo señalarían la relación existente.

Aplicaciones

Prácticamente todos los campos de la computación se respaldan en la teoría de conjuntos. Por ejemplo:

Bases de datos relacionales: una relación es un conjunto y en bases de datos es posible llevar a cabo operaciones entre relaciones, obteniendo información en forma organizada y concreta. 

Lenguajes de Programación y su conjunto de símbolos terminales que marcan el límite de palabras válidas de un lenguaje.

Redes de computadoras, donde se pueden aplicar las operaciones de unión, intersección, complementación, composición y ley de Morgan. La representación gráfica de los conjuntos se conoce en computación como teoría de grafos.

Referencias

 Aguilar Márquez, A. Matemáticas Simplificadas. Pearson, 2014.

Jiménez Murillo, J. A. Matemáticas para la Computación. Alfaomega, 2015.