Integración con condiciones iniciales

Definición

En problemas prácticos, se requiere conocer una función primitiva única; y para esto es necesario conocer ciertos valores que toma la función para determinados valores de su dominio. Estos valores se suelen denominar condiciones iniciales o de frontera.











Ejemplo

Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es:

Determine la función de demanda.

  es la función de ingreso y se tiene que , donde  es el precio por unidad y   es el número de unidades. Entonces:   es la función de demanda (  solo en términos de )

Para esto integramos la función de costo marginal:

Donde  es la constante de integración:

El siguiente razonamiento nos conduce a obtener las condiciones iniciales:

 “Cuando no se vende ninguna unidad, simplemente no hay ingreso”.

Por tanto: si: ,entonces:  .

Si reemplazamos estos valores en nuestra primitiva genérica (función de ingreso ), podemos calcular .

Por tanto .

Entonces ya no tenemos infinitas primitivas, sino una sola primitiva: La función de ingreso del fabricante, así:

Y así determinamos la función de demanda del fabricante: