Ejercicio 1

Una viga empotrada tiene una longitud de 6 m y una carga de 30 kN que actúa en la mitad de ella, como se muestra en la Figura. Determine la deflexión en la mitad de la viga, considere que la constante de rigidez es EI=6x10⁴ kN/m².

Datos

EI={6x10}^4\ kN\ m^2

L=6\ m

P=30\ kN

Resolución

El primer paso a realizar es determinar el momento interno ubicado en la mitad de la viga, para lo cual se aplica las condiciones de equilibrio de los cuerpos según la estática. Realizando una sumatoria de momentos de un plano de corte x-x hacia la derecha, se puede establecer:

Observando que la viga al deformarse se produce tracción en la parte superior, se considera que el momento es negativo según lo indicado en la sección 2.2, sustituyendo el momento encontrado en la Ecuación 1 se obtiene:

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=-30\left(3-x\right)

(I)

Como el nombre del método lo induce debemos proceder a integrar la ecuación de la viga elástica determinada para este caso.  Un detalle importante a considerar es mantener la constante de integración durante cada operación.

Al integrar una vez la expresión (I) se obtiene la expresión (II) que corresponde a la pendiente en la mitad de la viga.

EI\frac{dy}{dx}=15\left(3-x\right)^2+C_1

(II)

Al integrar una vez la expresión (II) se obtiene la expresión (III) que corresponde a la deflexión en la mitad de la viga.

EIy=-5\left(3-x\right)^3+C_1x+C_2

(III)

Luego, debemos encontrar los valores correspondientes a las constantes C₁ y C₂, para lo cual procedemos a identificar las condiciones de frontera según lo mencionado en la sección 2.1.

En la condición de frontera para el empotramiento del punto A, sustituyendo cuando x=0, dy/dx=0, en la expresión [II] se tiene:

EI\left(0\right)=15\left(3-0\right)^2+C_1

0=135+C_1

C_1=-135

En la condición de frontera para el empotramiento del punto A, sustituyendo cuando x=0, y=0, C₁=-135 en la expresión [III] se tiene:

EI\left(0\right)=-5\left(3-0\right)^3-135\left(0\right)+C_2

0=-135+0+C_2

C_2=135

Substituyendo x=3, C₁=-135, C₂=135, EI=6x10⁴ en la expresión [III] se obtiene:

{6x10}^4y=-5\left(3-3\right)^3-135\left(3\right)+135

{6x10}^4y=0-405+135

{6x10}^4y=-270

y=-\frac{270}{{6x10}^4\ }=-0.0045\ m\ =-4.5\ mm

Ejercicio 2

Una viga empotrada tiene una longitud de 9 m y una carga distribuida de 8 kN/m que actúa hasta 5 m del lado empotrado, como se muestra en la Figura. Determine la pendiente en el punto C, considere que la constante de rigidez EI es constante.

Datos

L=9\ m

q=8\ \frac{kN}{m}

Resolución

El primer paso a realizar es determinar el momento interno ubicado a 5 m del apoyo A, para lo cual se aplica las condiciones de equilibrio de los cuerpos según la estática. Realizando una sumatoria de momentos de un plano de corte x-x hacia la derecha, se puede establecer:

Observando que la viga al deformarse se produce tracción en la parte superior, se considera que el momento es negativo según lo indicado en la sección 2.2, sustituyendo el momento encontrado en la Ecuación 1 se obtiene:

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=-4\left(5-x\right)^2

(I)

Como el nombre del método lo induce debemos proceder a integrar la ecuación de la viga elástica determinada para este caso.  Un detalle importante a considerar es mantener la constante de integración durante cada operación.

Al integrar una vez la expresión (I) se obtiene la expresión (II) que corresponde a la pendiente ubicada a 5 m del apoyo A.

EI\frac{dy}{dx}=\frac{4}{3}\left(5-x\right)^3+C_1

(II)

Luego, debemos encontrar el valor correspondiente a las constante C₁ , para lo cual procedemos a identificar la condición de frontera según lo mencionado en la sección 2.1.

En la condición de frontera para el empotramiento del punto A, sustituyendo cuando x=0, dy/dx=0, en la expresión [II] se tiene:

EI\left(0\right)=\frac{4}{3}\left(5-0\right)^3+C_1

0=\frac{500}{3}+C_1

C_1=-\frac{500}{3}

Substituyendo x=5, C₁=-500/3, θ=dy/dx en la expresión [II] se obtiene:

EI\theta_C=\frac{4}{3}\left(5-5\right)^3-\frac{500}{3}

EI\theta_C=-\frac{500}{3}

\theta_C=-\frac{500}{3EI}=-\frac{166.67}{EI}

Ejercicio 3

Determine la pendiente en el punto A de una viga apoyada en los extremos que tiene una longitud de 2 m y una carga puntual de que actúa sobre ella, como se muestra en la Figura. Considere que el material de la viga es de aluminio ( E= 200 GPa), con una sección cuadrada de 45 mm por cada lado.

Datos

E=210\ GPa=210x{10}^6\ \frac{kN}{m^2}

b=h=45\ mm=0.045\ m

L=2\ m

P=2\ kN

Resolución

El primer paso a realizar es determinar el momento de inercia de la sección cuadrada mediante la siguiente expresión:

I=\frac{bh^3}{12}=\frac{\left(0.045\ m\right)\left(0.045\ m\right)^3}{12}=3.417{x10}^{-7}m^4

Luego se determinan las reacciones en los apoyos mediante las condiciones de equilibrio de los cuerpos según la estática. Realizando una sumatoria de momentos en el punto A tenemos:

{\Sigma M}_A=0

-2\ kN\left(1\ m\right)+R_B\left(2\ m\right)=0

-2\ kN\ m+R_B\left(2\ m\right)=0

R_B\left(2\ m\right)=2\ kN\ m

R_B=\frac{2\ kNm}{2\ m}=1\ kN

Despues se determina el momento interno ubicado en la mitad de la viga. Realizando una sumatoria de momentos de un plano de corte x-x hacia la derecha, se puede establecer:

Observando que la viga al deformarse se produce compresión en la parte superior, se considera que el momento es positivo según lo indicado en la sección 2.2, sustituyendo el momento encontrado en la Ecuación 1 se obtiene:

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=2\ \left(1-x\right)-\left(2-x\right)

(I)

Como el nombre del método lo induce debemos proceder a integrar la ecuación de la viga elástica determinada para este caso.  Un detalle importante a considerar es mantener la constante de integración durante cada operación.

Al integrar una vez la expresión (I) se obtiene la expresión (II) que corresponde a la pendiente en la mitad de la viga.

EI\frac{dy}{dx}=-\ \left(1-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(2-x\right)^2+C_1

(II)

Luego, debemos encontrar el valor correspondiente a las constante C₁ , para lo cual procedemos a identificar la condición de frontera según lo mencionado en la sección 2.1.

En la condición de frontera en el centro de la viga sucede algo curioso la tangente que cruza la curva de la viga es cero, por lo que sustituyendo cuando x=1, dy/dx=0, en la expresión [II] se tiene:

EI\left(0\right)=-\ \left(1-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(2-1\right)^2+C_1

0=0+\frac{1}{2}+C_1

C_1=-\frac{1}{2}

Substituyendo x=0, C₁=-1/2, θ=dy/dx, E=210x10⁶, I=3.417x10^-7 en la expresión [II] se obtiene:

EI\theta_A=-\ \left(1-0\right)^2+\frac{1}{2}\left(2-0\right)^2-\frac{1}{2}

\left(210x{10}^6\right)\left(3.417{x10}^{-7}\right)\theta_A=-1+2-\frac{1}{2}

71.76\theta_A=\frac{1}{2}

\theta_A=\frac{1}{2\left(71.76\right)}=0.00697\ rad

Como la pendiente se mide en sentido horario desde el eje x la pendiente en A es negativa siendo:

\theta_A=-0.00697\ rad

Ejercicio 4

Determine la deflexión máxima de una viga apoyada en los extremos que tiene una longitud de 2 m y una carga distribuida de 2 kN/m que actúa sobre ella, como se muestra en la Figura. Considere que el material de la viga es de aluminio (70 GPa), con una sección cuadrada de 45 mm por cada lado.

Datos

E=210\ GPa=210x{10}^6\ \frac{kN}{m^2}

b=h=45\ mm=0.045\ m

L=2\ m

q=2\frac{kN}{m}

Resolución

El primer paso a realizar es determinar el momento de inercia de la sección cuadrada mediante la siguiente expresión:

I=\frac{bh^3}{12}=\frac{\left(0.045\ m\right)\left(0.045\ m\right)^3}{12}=3.417{x10}^{-7}m^4

En este ejercicio vamos a utilizar la forma alternativa de la curva elástica según la Ecuación (3) que coincide con el caso de la carga distribuida, reemplazando este valor tenemos la expresión (I):

EI\frac{d^4y}{{\rm dx}^4}=-2

(I)

Como el nombre del método lo induce debemos proceder a integrar la ecuación de la viga elástica determinada para este caso.  Un detalle importante a considerar es mantener la constante de integración durante cada operación.

Al integrar dos veces la expresión (I) se obtiene la expresión (II):

EI\frac{d^3y}{{\rm dx}^3}=-2x+C_1

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=-x^2+C_1x+C_2

(II)

Luego, debemos encontrar el valor correspondiente a las constante C₁ y C₂, para lo cual procedemos a identificar la condición de frontera según lo mencionado en la sección 2.1.

En la condición de frontera para el apoyo del punto A, sustituyendo cuando x=0, M=0, en la expresión [II] se tiene:

0=-\left(0\right)^2+C_1\left(0\right)+C_2

0=0+0+C_2

C_2=0

En la condición de frontera para el apoyo del punto B, sustituyendo cuando x=2, M=0, C₂=0 en la expresión [II] se tiene:

0=-\left(2\right)^2+C_1\left(2\right)+0

0=-4+{2C}_1+0

4={2C}_1

\frac{4}{2}=C_1

C_1=2

Substituyendo C₁=2 y C₂=0, en la expresión [II] se obtiene la ecuación de la viga elástica del ejercicio, que se presenta con la expresión [III]:

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=-x^2+2x+0

EI\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=-x^2+2x

[III]

Integrando dos veces la expresión [III] se obtiene la expresión [IV]:

EI\frac{dy}{dx}=-\frac{x^3}{3}+x^2+C_3

EIy=-\frac{x^4}{12}+\frac{x^3}{3}+C_3x+C_4

[IV]

En la condición de frontera para el apoyo del punto A, sustituyendo cuando x=0, y=0,  en la expresión [IV] se tiene:

EI\left(0\right)=-\frac{\left(0\right)^4}{12}+\frac{\left(0\right)^3}{3}+C_3\left(0\right)+C_4

C_4=0

En la condición de frontera para el apoyo del punto B, sustituyendo cuando x=2, y=0, C₄=0 en la expresión [IV] se tiene:

EI\left(0\right)=-\frac{\left(2\right)^4}{12}+\frac{\left(2\right)^3}{3}+C_3\left(2\right)+0

EI\left(0\right)=-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}+C_3\left(2\right)+0

0=\frac{4}{3}+2C_3

-\frac{4}{3}=2C_3

C_3=-\frac{4}{3\left(2\right)}=-\frac{2}{3}

Substituyendo cuando x=1, C₃=-2/3, C₄=0, E=210x10⁶, I=3.417x10^-7 en la expresión [IV] se obtiene:

\left(210x{10}^6\right)\left(3.417{x10}^{-7}\right)y=-\frac{1^4}{12}+\frac{1^3}{3}-\frac{2}{3}\left(1\right)+0

71.76y=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}

71.76y=-\frac{5}{12}

y=-\frac{5}{12\left(71.76\right)}=-0.00581\ m\ =-5.81\ mm