Resolución de casos
Ejercicio 1
Determine la deflexión y la pendiente en el punto C de la viga mostrada en la Figura. Considere EI como una constante.
Datos
EI=1\ MN\ m^2=1000\ kN\ m^2
L=6\ mq=3\frac{kN}{m}
P=10\ kN
Resolución
Se procede a dividir las cargas aplicadas en la viga según los casos indicados en los caso 5.1, 5.2 y 5.3 como se muestra en la Figura.
.png "Asignación de casos de superposición en Ej1")
De manera que se emplean las ecuaciones correspondientes para determinar las deflexiones y pendientes individuales en el punto C para cada caso.
Caso 5.1
Deflexión
y_{C1}=y_{AC}=-\frac{Pbx}{6EIL}\left(L^2-b^2-x^2\right)=-\frac{10\left(2\right)\left(2\right)}{6\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^2-2^2-2^2\right)=-\frac{1}{75}
Pendiente
\theta_{C1}=\theta_{AC}=-\frac{Pb}{6EIL}\left(L^2-b^2-{3x}^2\right)=-\frac{10\left(2\right)}{6\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^2-2^2-{3\left(2\right)}^2\right)=0
Caso 5.2
Deflexión
y_{C2}=y_{AB}=\frac{Pax}{6EIL}\left(L^2-x^2\right)=\frac{10\left(2\right)\left(2\right)}{6\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^2-2^2\right)=\frac{1}{50}
Pendiente
\theta_{C2}=\theta_{AB}=\frac{Pa}{6EIL}\left(L^2-{3x}^2\right)=\frac{10\left(2\right)}{6\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^2-{3\left(2\right)}^2\right)=\frac{1}{300}
Caso 5.3
Deflexión
y_{C3}=y_{AB}=-\frac{qx}{24EIL}\left(L^4-{2L}^2x^2+{\rm Lx}^3-{2a}^2L^2+{2a}^2x^2\right)
y_{C3}=-\frac{3\left(2\right)}{24\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^4-{2\left(4\right)}^2\left(2\right)^2+4\left(2\right)^3-{2\left(2\right)}^2\left(4\right)^2+{2\left(2\right)}^2\left(2\right)^2\right)=-\frac{1}{250}
Pendiente
\theta_{C3}=\theta_{AB}=-\frac{q}{24EIL}\left(L^4-{6L}^2x^2+4{\rm Lx}^3-{2a}^2L^2+{6a}^2x^2\right)
\theta_{C3}=-\frac{3}{24\left(1000\right)\left(4\right)}\left(4^4-{6\left(4\right)}^2\left(2\right)^2+4\left(4\right)\left(2\right)^3-{2\left(2\right)}^2\left(4\right)^2+{6\left(2\right)}^2\left(2\right)^2\right)=\frac{1}{1000}
Se determina la deformación y pendiente total en C sumando cada una de las deformaciones y pendientes individuales en ese punto.
y_C=y_{C1}+y_{C2}+y_{C3}=-\frac{1}{75}+\frac{1}{50}-\frac{1}{250}=\frac{1}{375}=0.0026\ m=2.67\ mm
\theta_C=\theta_{C1}+\theta_{C2}+\theta_{C3}=0+\frac{1}{300}+\frac{1}{1000}=\frac{13}{3000}=0.00433\ rad
Ejercicio 2
Determine la deflexión y la pendiente en el punto B de la viga mostrada en la Figura. Considere que E=200 GPa y I=1665x106 mm4
Datos
E=200\ GPa=200x{10}^6\ \frac{kN}{m^2}
I=1665x{10}^6\ {\rm mm}^4=1.665x{10}^{-3}\ m^4L=9\ m
q=45\frac{kN}{m}
P=270\ kN
Resolución
Se procede a dividir las cargas aplicadas en la viga según los casos indicados en los caso 7.3 y 8.4 como se muestra en la Figura.
.png "Asignación de casos de superposición en Ej2")
De manera que se emplean las ecuaciones correspondientes para determinar las deflexiones y pendientes individuales en el punto B para cada caso.
Caso 7.3
Deflexión
y_{B1}=y_B=-\frac{Pa^2}{6EI}\left(3L-a\right)=-\frac{270\left(3\right)^2}{6\left(200x{10}^6\right)\left(1.665x{10}^{-3}\right)}\left(3\left(9\right)-3\right)=-0.0292
Pendiente
\theta_{B1}=\theta_{CB}=-\frac{Pa^2}{2EI}=-\frac{270\left(3\right)^2}{2\left(200x{10}^6\right)\left(1.665x{10}^{-3}\right)}=-0.003649
Caso 8.4
Deflexión
y_{B2}=y_B=-\frac{q}{24EI}\left({3L}^4-4a^3L+a^4\right)
y_{B2}=-\frac{45}{24\left(200x{10}^6\right)\left(1.665x{10}^{-3}\right)}\left({3\left(9\right)}^4-4\left(6\right)^3\left(9\right)+6^4\right)=-0.0743
Pendiente
\theta_{B2}=\theta_B=-\frac{q}{6EI}\left(L^3-a^3\right)
\theta_{B2}=-\frac{45}{6\left(200x{10}^6\right)\left(1.665x{10}^{-3}\right)}\left(9^3-6^3\right)=-0.011554
Se determina la deformación y pendiente total en B sumando cada una de las deformaciones y pendientes individuales en ese punto.
y_C=y_{B1}+y_{B2}=-0.0292-0.0743=-0.1035\ m=-103.5\ mm
\theta_C=\theta_{B1}+\theta_{B2}=-0.003649-0.011554=-0.015203\ rad
Ejercicio 3
Determine la deflexión y la pendiente de la viga a 3 m del apoyo A como se muestra en la Figura. Considere EI como una constante.
Datos
L=4\ m
q=40\frac{kN}{m}M=10\ kN\ m
Resolución
Se procede a dividir las cargas aplicadas en la viga según los casos indicados en los caso 4.5 y 2.3 como se muestra en la Figura.
.png "Asignación de casos de superposición en Ej3")
De manera que se emplean las ecuaciones correspondientes para determinar las deflexiones y pendientes individuales a 3 m del apoyo para cada caso.
Caso 4.5
Deflexión
y_1=y_{AB}=-\frac{x\left(L-x\right)}{6EIL}\left[\left(M_1-M_2\right)x-\left({2M}_1+M_2\right)L\right]
y_1=-\frac{3\left(4-3\right)}{6EI\left(4\right)}\left[\left(10-10\right)\left(3\right)-\left(2\left(10\right)+10\right)\left(4\right)\right]=\frac{15}{EI}
Pendiente
\theta_1=\theta_{AB}=\frac{1}{6EIL}\left[\left(M_1-M_2\right)\left({3x}^2-2Lx\right)-\left({2M}_1+M_2\right)\left(2Lx-L^2\right)\right]
\theta_1=\frac{1}{6EI\left(4\right)}\left[\left(10-10\right)\left({3\left(3\right)}^2-2\left(4\right)\left(3\right)\right)-\left(2\left(10\right)+10\right)\left(2\left(4\right)\left(3\right)-4^2\right)\right]=-\frac{10}{EI}
Caso 2.3
Deflexión
y_2=y_{CB}=-\frac{qa^2}{24EIL}\left(-a^2L+4L^2x+a^2x-6Lx^2+{2x}^3\right)
y_2=-\frac{40\left(3\right)^2}{24EI\left(4\right)}\left(-3^2\left(4\right)+4\left(4\right)^2\left(3\right)+3^2\left(3\right)-6\left(4\right)\left(3\right)^2+{2\left(3\right)}^3\right)=-\frac{315}{4EI}
Pendiente
\theta_2=-\frac{qa^2}{24EIL}\left(4L^2+a^2-12Lx+{6x}^2\right)=-\frac{40\left(3\right)^2}{24EI\left(4\right)}\left(4\left(4\right)^2+3^2-12\left(4\right)\left(3\right)+{6\left(3\right)}^2\right)=\frac{255}{4EI}
Se determina la deformación y pendiente cuando x = 3 m sumando cada una de las deformaciones y pendientes individuales en ese punto.
y=y_1+y_2=\frac{15}{EI}-\frac{315}{4EI}=-\frac{255}{4EI}=-\frac{63.75}{EI}
\theta=\theta_1+\theta_2=-\frac{10}{EI}+\frac{255}{4EI}=-\frac{215}{4EI}=\frac{53.75}{EI}