Imaginemos una viga apoyada en sus extremos, que soporta una carga en el centro. Cuando la carga actúa directamente sobre la viga, esta se deforma y su geometría original cambia, produciendo un desplazamiento vertical. Este desplazamiento vertical se conoce como deflexión, y es una medida de la cantidad de deformación que sufre la viga. 

La forma adoptada por el eje neutro de la viga durante la deformación se conoce como curva elástica, que es una línea curva que describe cómo se flexiona la viga bajo la carga.

Para medir esta deflexión, podemos tomar dos puntos arbitrarios, A y B de una viga deformada, relacionando la longitud del arco con un radio ρ tras su deformación, con un ángulo de posición θ denominado pendiente, se puede expresar la relación geométrica mediante la Ecuación (I):

ds=d\theta\rho

(I)

Suponiendo que el valor de la longitud del arco es pequeño se podría asumir que ds≈dx. Sustituyendo esta expresión en la Ecuación (I) y considerando el ángulo dθ en términos dx se obtiene la Ecuación (II):

\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{\rho}

(II)

Si observamos los puntos A y B de la curva elástica en la viga, y trazamos una recta a esos puntos podemos notar que se forma un ángulo dθ con respecto al eje X.

Al relacionar este ángulo con los desplazamientos en x e y, podemos obtener la Ecuación (III)

\tan{d\theta}=\frac{dy}{dx}

(III)

Suponiendo que el valor del ángulo es pequeño se podría asumir que dθ≈tandθ , y sustituyendo esta expresión en la Ecuación (III) se obtiene la Ecuación (IV):

d\theta=\frac{dy}{dx}

(IV)

Derivando la Ecuación (IV) con respecto a x, se obtiene la Ecuación (V):

\frac{d\theta}{dx}=\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}

(V)

Igualando las Ecuaciones (II) y (V) se obtiene la Ecuación (VI):

\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=\frac{1}{\rho}

(VI)

Aplicando la teoría de vigas en flexión se tiene que la relación momento curvatura se representa mediante la Ecuación (VII)

\kappa=\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}

(VII)

Al igualar las Ecuaciones (VI) y (VII), se obtiene Ecuación (1) que se conoce como la ecuación de la viga elástica.

\frac{d^2y}{{\rm dx}^2}=\frac{M}{EI}

(1)

Un detalle adicional es que podemos expresar la Ecuación (1) en dos formas alternativas, derivando con respecto a x, y para una fuerza cortante "V" y fuerza distribuida "q", considerando que V=dM/dx y q=dV/dx , se obtienen las Ecuaciones (2) y (3).

	\frac{d^3y}{{\rm dx}^3}=\frac{V}{EI}	(2)
	\frac{d^4y}{{\rm dx}^4}=-\frac{q}{EI}	(3)