Es una extensión del método de doble integración, consiste en establecer una ecuación general que satisfaga todas las condiciones de frontera, que mediante el método tradicional resultaría una tarea compleja cuando existan diferentes cargas aplicadas en una viga. Para ello se emplean las funciones de Macaulay, cuyo uso se basa en la definición de restricciones para funciones ordinarias, expresándose mediante el uso de corchetes angulares como lo indica la Ecuación (4):
(4)
En caso de cumplirse la primera condición, el valor definido para ese tramo es igual a 0, eso implica que al realizar un corte en determinado tramo las cargas no se consideran o no existen para la ecuación de la viga elástica. Mientras que en la segunda condición deben emplearse todas las cargas aplicadas en el estudio.
Pasos de aplicación
Los pasos para aplicar el método de Macaulay se presentan a continuación:
Se calculan las reacciones en los apoyos de una viga simplemente apoyada mediante el método tradicional.
Realizar un corte en el extremo más alejado del inicio de coordenadas en x, escribiendo una única ecuación de momentos, diferenciando cada expresión por tramo.
Al integrar las expresiones se integran como un todo manteniéndose entre paréntesis.
Ejercicio
Una viga apoyada en los extremos tiene una longitud de 6 m con una carga distribuida de 3 kN/m y una carga puntual de 5 kN, como se muestra en la Figura. Considere que el material de la viga es de acero (E=200 GPa), con una sección circular de 30 mm. Determine la deflexión y pendiente a 1 m, 3 m y 5 m.
Rodger Salazar. Aplicación de Método de Macaulay(CC0)
Datos
E=200\ GPa=200x{10}^6\ \frac{kN}{m^2}
d=30\ mm\left(\frac{1\ m}{1000\ mm}\right)=0.030\ m
L=6\ m
q=3\frac{kN}{m}
P=5\ kN
Resolución
El primer paso a realizar es determinar el momento de inercia de la sección cuadrada mediante la siguiente expresión:
Luego se determinan las reacciones en los apoyos mediante las condiciones de equilibrio de los cuerpos según la estática. Realizando una sumatoria de momentos en el punto B tenemos:
Para la aplicación del método de Macaulay se debe realizar un corte en el punto más alejado hacia la derecha donde se pueda obtener el momento interno, como se realiza a continuación:
Observando que la viga al deformarse se produce compresión en la parte superior, se considera que el momento es positivo según lo indicado en la sección 2.2, sustituyendo el momento encontrado en la Ecuación 1 se obtiene:
Como el nombre del método lo induce debemos proceder a integrar la ecuación de la viga elástica determinada para este caso. Un detalle importante a considerar es mantener la constante de integración durante cada operación.
Al integrar una vez la expresión (I) se obtiene la expresión (II) que corresponde a la pendiente en la mitad de la viga.
Luego, debemos encontrar los valores correspondientes a las constantes C1 y C2, para lo cual procedemos a identificar las condiciones de frontera según lo mencionado en la sección 2.1.
En la condición de frontera para el apoyo del punto A, sustituyendo cuando x=0, y=0, en la expresión [II] se tiene:
